He encontrado en un centro comercial un juego de brocas especiales para extraer tornillos a los que se les ha fastidiado la cabeza. Lo que hacen es perforar y sujetar el tornillo de forma que se pueda desatornillar después.

También incluye una broca para hacer desbastados laterales.
Sale por unos 15 euros, en cuanto lo pruebe, lo cuento por aquí.